利用幾何畫板動態演示九點圓

九點圓是幾何學史上的一個著名問題，是指三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點（連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點共圓。前面教程給大家介紹了用幾何畫板畫九點圓的方法，其實還可以借助幾何畫板給學生們演示不同情況下的九點圓，本節就一起來學學用幾何畫板動態演示九點圓的方法。

幾何畫板演示三角形的九點圓課件樣圖：

幾何畫板課件模板——動態演示三角形的九點圓

在該課件中，通過左邊測量的線段可以知道圓心與各個點之間的距離，想要觀察不同情況三角形的九點圓，可以任意選中三角形的三個頂點，然后在大圓上進行拖動，改變三角形的形狀，從而觀看不同情況下，三角形的九點圓，從而發現有什么異同。

九點圓具有許多有趣的性質，例如：

1.三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半；

2.九點圓的圓心在歐拉線上，且恰為垂心與外心連線的中點；

3.三角形的九點圓與三角形的內切圓，三個旁切圓均相切（費爾巴哈定理）；

4.九點圓是一個垂心組（即一個三角形三個頂點和它的垂心，共四個點，每個點都是其它三點組成的三角形的垂心，共4個三角形）共有的九點圓，所以九點圓共與四個內切圓、十二個旁切圓相切。

5.九點圓心（V），重心（G），垂心（H），外心（O）四點共線，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。

九點圓圓心的重心坐標的計算跟垂心、外心一樣麻煩。

設d1，d2，d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘，并令c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

那么重心坐標為：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。

點擊下面的“下載模板”按鈕，即可下載該課件，用來給學生們動態演示三角形的九點圓，如果你對用幾何畫板畫九點圓的方法還有疑問，可參考教程：如何用幾何畫板畫九點圓。